মোলার আপেক্ষিক তাপ-Molar relative heat

মোলার আপেক্ষিক তাপ

সংজ্ঞাঃ  কোন পদার্থের এক মোলের তাপমাত্রা 1 K (কেলভিন) বাড়াতে যে পরিমাণ তাপের প্রয়োজন হয় তাকে ঐ পদার্থের মোলার আপেক্ষিক তাপ বলে। একে তাপীয় ক্ষমতাও বলা হয়।

ধরাযাক, m ভর বিশিষ্ট কোন পদার্থের তাপমাত্রা dT পরিমান বৃদ্ধি করতে dQ পরিমান তাপের প্রয়োজন হয়। তাহলে এর মোলার আপেক্ষিক তাপ,

`C=\frac{dQ}{m dT}`

এই মোলার আপেক্ষিক তাপ দুটি শর্তে নির্ণয় করা যায়। ১.স্থির চাপে এবং ২. স্থির আয়তনে।

১.স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ(`C_{p}`): স্থির চাপে কোন পদার্থের এক মোলের তাপমাত্রা 1 K (কেলভিন) বাড়াতে যে পরিমাণ তাপের প্রয়োজন হয় তাকে স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ বলে। একে  `C_{p}` দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতএব, ১মোল গ্যাসের জন্য,

`C_p =\frac{dQ}{dT}` ------------ (1)

 

২.স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ(`C_{v}`): স্থির আয়তনে কোন পদার্থের এক মোলের তাপমাত্রা 1 K (কেলভিন) বাড়াতে যে পরিমাণ তাপের প্রয়োজন হয় তাকে স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ বলে। একে  `C_{v}` দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

অতএব, ১মোল গ্যাসের জন্য,

`C_v =\frac{dQ}{dT}` ------------ (2)

 

`C_p` ও `C_v`  এর মধ্যে সম্পর্ক: স্থির আয়তনে তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র হতে পাই,

`dQ=dU` ---------- (4)

আবার, (2) নং হতে পাই,

         `C_v =\frac{dQ}{dT}`

                             `Rightarrow dQ= C_v dT` ----------- (5)

তাহলে (4) ও (5) হতে আমরা লিখতে পারি,

        `dU= C_v dT` ------------(6)

আবার, (1) নং হতে পাই,

                                                        `C_p =\frac{dQ}{dT}`

     `Rightarrow dQ=C_p dT` ---------- (7)

আমরা জানি, আদর্শ গ্যাস সমীকরণ, `PV=nRT`

১মোল গ্যাসের জন্য `n=1` , তখন আদর্শ গ্যাস সমীকরণ হতে পাই,

`PV=RT` -----------(8)

(8) নং কে T এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

                    `\frac{d}{dT} (PV) = \frac{d}{dT} (RT)`

    `\Rightarrow P \frac{dV}{dT} = R`

                        `Rightarrow PdV=RdT` ------------- (9)

তাপগতিবিদ্যার ১ম সুত্র হতে জানি,

                                                                      `dQ=dU+PdV`

                       `Rightarrow C_p dT = C_v dT + RdT`

        `Rightarrow C_p=C_v +R`

        `Rightarrow C_p -C_v = R` --------------(10)

ইহাই,`C_p` ও `C_v` এর মধ্যে সম্পর্কে।

অর্থাৎ, মোলার আপেক্ষিক তাপদ্বয়ের বিয়োগফল একটি ধ্রুবক। যেহেতু এই বিয়োগফলের মান ধনাত্মক, সুতরাং `C_p` > `C_v` ।

এই মোলার আপেক্ষিক তাপদ্বয়ের অনুপাত বা ভাগফলকে  `\gamma` (গামা) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ,

`\gamma = \frac{C_p}{C_v}` -----------(11)

`\gamma` এর গুরুত্বঃ `\gamma`  এর মানের সাহায্যে আমরা কোন গ্যাসের আনবিক গঠন সম্পর্কে জানতে পারি। যেমনঃ

`\gamma = 1.67` হলে গ্যাসটি এক পরমাণুক।যেমনঃ`He, Ne` সহ সকল নিষ্ক্রিয় গ্যাস।

`\gamma = 1.4` হলে গ্যাসটি দ্বিপরমাণুক পরমাণুক।যেমনঃ `O , Cl` ইত্যাদি।

`\gamma = 1.33` হলে গ্যাসটি অরৈখিক বহু পারমাণবিক গ্যাস। যেমনঃ `CO_2 , O_3` ইত্যাদি।

`\gamma = 1.1 - 1.3` এর মধ্যে হলে গ্যাসটি বহু পরমাণুক। যেমনঃ `CH_4` , `C_2 H_6` ইত্যাদি।

এখন আমরা এই `\gamma`  এর মান ব্যাবহার করে রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপমাত্রা, চাপ অ আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করবো।

১.চাপ ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্কঃ তাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্র হতে পাই,

`dQ= dU + dW`

`\Rightarrow dQ=dU+PdV`

`\Rightarrow dQ=C_v dT+PdV`

রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় `dQ=0` সুতরাং আমরা লিখতে পারি,

`0=C_v dT +PdV`

`\Rightarrow C_v dT +PdV=0` ----------------- (12)

আমরা জানি রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় চাপ এবং আয়তন উভয়ই পরিবর্তনশীল।এক্ষেত্রে ১মোল গ্যাসের জন্য মোলার গ্যাস সমীকরণ `PV=RT` কে T এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

 `\frac {d}{dt} (PV)= \frac{d}{dT} (RT)`

`\Rightarrow P \frac {dV}{dT}+ V \frac{dP}{dT}=R` (`\frac {dT}{dT}`)

`\Rightarrow PdV + VdP=RdT`

`\Rightarrow dT=\frac{PdV+VdP}{R}`-------------(13)

`dT` এর মান (12) নং সমীকরণে বসাই,

`C_v (\frac{PdV+VdP}{R})+PdV=0`

`\Rightarrow C_v PdV +C_v VdP +RPdV=0`

`\Rightarrow C_v PdV + C_v VdP + (C_p - C_v)PdV =0`

`\Rightarrow C_v PdV + C_v VdP + C_p PdV - C_v PdV=0`

`\Rightarrow C_v VdP + C_p PdV =0`

`\Rightarrow \frac {C_v VdP}{C_v} + \frac {C_p PdV}{C_v}=0` (উভয় পক্ষকে `C_v` দ্বারা ভাগ করে)

`\Rightarrow VdP+ \frac{C_p}{C_v} PdV=0`

`\Rightarrow VdP+ \gamma PdV=0`

`\Rightarrow \frac{V}{PV} dP + \gamma \frac{P}{PV} dV=0`   (`PV` দ্বারা ভাগ করে)

`\Rightarrow \frac{1}{P} dP + \gamma \frac{1}{V} dV=0` --------- (14)

(14) নং সমীকরণ কে সমাকলন করে পাই,

`\int \frac{1}{P} dP + \gamma \int \frac{1}{V} dV`= K (এখানে K ধ্রুবক)

`\Rightarrow log_e P + \gamma log_e V=` K

`\Rightarrow log_e P + log_e V^\gamma =` K

`PV^\gamma = K` -----------(15)

এটাই রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় চাপ ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক।

সমীকরণ (15) হতে আমরা লিখতে পারি,    `P_1 V_1 ^\gamma = P_2 V_2 ^\gamma`

২.তাপমাত্রা ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্কঃ আদর্শ গ্যাস সমীকরণ হতে পাই,

`PV=RT`

`\Rightarrow P = \frac{RT}{V}`

P  এর মান (15) নং এ বসিয়ে পাই,

`\frac {RT}{V} V^\gamma = K`

`\Rightarrow TV^(\gamma -1) = \frac{K}{R}`

`Rightarrow TV^(\gamma-1) =` ধ্রুবক

এটাই রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় তাপমাত্রা ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক।

৩. চাপ ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্কঃ আদর্শ গ্যাস সমীকরণ হতে পাই,

`PV = RT`

`Rightarrow V=\frac {RT}{P}`

V এর মান (15)  নং এ বসিয়ে পাই,

`P (\frac{RT}{P})^\gamma = K`

`Rightarrow T^\gamma` `P^(1-\gamma)` `R^\gamma =K`

`Rightarrow T^\gamma P^(1-\gamma) = \frac {K}{R^\gamma}`

`Rightarrow (T^\gamma P^(1-\gamma))^\frac {1}{\gamma}= Constant`

`\Rightarrow TP^(\frac{1-\gamma}{\gamma})`= `Constant` ------------- (16)

এটাই রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় চাপ ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্ক।

সমীকরণ (16) হতে লিখতে পারি, `T_1 P_1^(\frac{1-\gamma}{\gamma})= T_2 P_2^(\frac{1-\gamma}{gamma})`