তাপগতিবিদ্যা সম্পর্কীত গানিতিক সমস্যা- Mathematical problems related Thermodynamics.

 তাপগতিবিদ্যা সম্পর্কীত গানিতিক সমস্যা- Mathematical problems  related  Thermodynamics.

১.রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় `T_1 P_1^(\frac{1-\gamma}{\gamma})= T_2 P_2^(\frac{1-\gamma}{gamma})`
সমস্যা ১.১ঃ ঘর্ষণহীন পিষ্টন যুক্ত এবং তাপ অপরিবাহী পদার্থ দ্বারা তৈরী একটি সিলিন্ডারে `2 \times 10^5 Pa` চাপে এবং `600 K` তাপমাত্রায় `1 mol` হিলিয়াম গ্যাস আছে। গ্যাসের চাপ অর্ধেক করা হলে চূরান্ত তাপমাত্রা কত? (যখন `\gamma = 1.67` এবং `R= 8.31 J mol^{-1} K^{-1}` )
সমাধানঃ 
এখানে, প্রাথমিক চাপ `P_1 = 2 \times 10^5 Pa`
             প্রাথমিক তাপমাত্রা `T_1 = 600K`
           চূরান্ত চাপ `P_2 = \frac{P_1}{2}` =  `\frac {2 \times 10^5}{2}= 1 \times 10^5 Pa`
            `\gamma = 1.67`
            চূড়ান্ত তাপমাত্রা `T_2 = ?`
আমরা জানি,
                    `T_1 P_1^(\frac{1-\gamma}{\gamma})= T_2 P_2^(\frac{1-\gamma}{gamma})`
`\Rightarrow T_2 = T_1 \times \frac{P_1^ \frac{1- \gamma}{\gamma}}{P_2^ \frac{1-\gamma}{gamma}}`
`\Rightarrow  T_2 = T_1 \times (\frac {P_1}{P_2})^\frac {1-\gamma}{\gamma}`
`\Rightarrow T_2 = 600 \times (\frac{2 \times 10^5}{1 \times 10^5})^\frac{1- 1.67}{1.67}`
`\Rightarrow T_2 = 454.34 K`    `Ans.`

সমস্যা-১.২ঃ একটি সিলিন্ডারে `27^0 C` তাপমাত্রায় , `1` বায়ূমন্ডলীয় চাপে `CO_2` গ্যাস রাখা আছে। গ্যাসের চাপ দ্বিগুন করা হলে চূড়ান্ত তাপমাত্রা কত ? (`\gamma = 1.33`)
সমাধানঃ 
এখানে, প্রাথমিক চাপ `P_1 = 1atm`
             প্রাথমিক তাপমাত্রা `T_1 = 27^o C = (27+273) K = 300 K`
           চূরান্ত চাপ `P_2 = (1 \times 2) atm = 2atm`
             `\gamma = 1.33`
            চূড়ান্ত তাপমাত্রা `T_2 = ?`
আমরা জানি,
                    `T_1 P_1^(\frac{1-\gamma}{\gamma})= T_2 P_2^(\frac{1-\gamma}{gamma})`
`\Rightarrow T_2 = T_1 \times \frac{P_1^ \frac{1- \gamma}{\gamma}}{P_2^ \frac{1-\gamma}{gamma}}`
`\Rightarrow  T_2 = T_1 \times (\frac {P_1}{P_2})^\frac {1-\gamma}{\gamma}`
`\Rightarrow T_2 =300 \times (\frac{1}{2})^\frac{1-1.33}{1.33}`
`\Rightarrow T_2 = 356.3 K` = `(356.3 - 273)^o C = 83.3^o C`  `Ans.`

২.রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় `T_1 V_1 ^{\gamma -1} = T_2 V_2 ^{\gamma-1}`

সমস্যা ২.১ঃ একজন শিক্ষার্থী একটি আদর্শ গ্যাস কে  `27^o C` তাপমাত্রায় এবং `300 cm` পারদ চাপে রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আয়তন অর্ধেক করলো। গ্যাস টি দ্বিপরমাণুক হলে এর চূড়ান্ত তাপমাত্রা কত?
সমাধানঃ এখানে,
                               প্রাথমিক তাপমাত্রা `T_1 =27^o C = (27 + 273) K = 300K`
                               প্রাথমিক আয়তন `V_1 = V`
                               চূড়ান্ত আয়তন `V_2 = \frac{V}{2}`
                              দ্বিপরমাণুক গ্যাসের জন্য `\gamma = 1.4`
                               চূড়ান্ত তাপমাত্রা `T_2 = ?`
আমরা জানি,
                       `T_1 V_1 ^{\gamma -1} = T_2 V_2 ^{\gamma-1}`
                           `\Rightarrow T_2 = T_1 \times \frac{V_1 ^(\gamma -1)}{V_2 ^(\gamma -1)}`
                           `Rightarrow T_2 = T_1 \times (\frac {V}{\frac{V}{2}})^{\gamma -1}`
                        
                            `Rightarrow T_2 = 300 \times 2^{1.4 -1}`        
                            `\Rightarrow T_2 = 395.85 K`       
                            `\Rightarrow T_2 = (395.85 - 273)^o C = 122.85^o C` `Ans.`


৩. তাপীয় ইঞ্জিনের ক্ষমতাঃ  

i) `\eta = ( 1 - \frac{T_2}{T_1} 100%`  [ `T_1 =` তাপউৎসের তাপমাত্রা, `T_2 =` তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা]

ii) `\eta = (1 - \frac{Q_2}{Q_1}` [ `Q_1=` শোষিত তাপ, `Q_2 =` বর্জিত তাপ ]

সমস্যা ৩.১ঃ একটি তাপীয় ইঞ্জিন `227^o C` ও `0^o C` তাপমাত্রায় কাজ সম্পাদন করতে পারে। এর দক্ষতা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

এখানে, 

            তাপ উৎসের তাপমাত্রা `T_1 = 227^o C = (227 + 273) K = 500K`

            তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা , `T_2 = 0^o C = 273K

            ইঞ্জিনের দক্ষতা, `\eta = ?`

আমরা জানি,

                      `\eta = 1-  frac{T_2}{T_1} \times 100%`

                      `\eta = 1- frac{500}{273} \times 100%`

                      `\eta = 45.4%`       Ans.

সমস্যা ৩.২ঃ কোন তাপীয় ইঞ্জিনের গৃহীত ও বর্জিত তাপের অনুপাত `5:2` । উৎসের তাপমাত্রা `110 K` বাড়ালে দক্ষতা `70%` বৃদ্ধি পায়। উৎসের তাপমাত্রা ও গ্রাহকের তাপমাত্রা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

এখানে,

            গৃহীত তাপ = `Q_1`

            বর্জিত তাপ =`Q_2`

            সুতরাং , `\frac{Q_1}{Q_2}= \frac{5}{2}`

            উৎসের তাপমাত্রা `T_1=?`

            গ্রাহকের তাপমাত্রা  `T_2=?`

আমরা জানি,

`\frac{T_1}{T_2} = \frac{Q_1}{Q_2}`

`\Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{5}{2}`        

`\Rightarrow T_1 = \frac{5}{2} \times T_2`

`\Rightarrow T_1 = 2.5  T_2`  ---------(i)

উৎসের তাপমাত্রা`110K` বৃদ্ধি করলে অর্থাৎ, `T_1+ 110` হলে দক্ষতা `\eta = 70% = \frac{70}{100} = 0.7` হয়।

অতএব, 

`\eta = 1-  \frac{T_2}{T_1 + 110}`

`\Rightarrow 0.7 = 1 - \frac{T_2}{T_1 + 110}`

`\Rightarrow \frac{T_2}{T_1 +110}= 1 - 0.7`

`\Rightarrow \frac{T_2}{T_1 + 110} = 0.3`

`\Rightarrow T_2 = 0.3 \times (T_1 + 110)`

`\Rightarrow T_2 = 0.3 \times (2.5T_2 + 110)`

`\Rightarrow T_2 = 0.75T_2 + 33`

`\Rightarrow T_2 - 0.75T_2 = 33`

`\Rightarrow 0.25T_2 = 30`

`\Rightarrow T_2 = \frac{33}{0.25}`

`\Rightarrow T_2 = 132 K`

এখন,

`T_2 = 132K`  (i) নং এ বসিয়ে পাই,

`T_1 = 2.5 \times T_2`

`\Rightarrow T_1 = 2.5 \times 132`

`\Rightarrow T_1 = 330K`   

সুতরাং,   উৎসের তাপমাত্রা `T_1=330K`

            গ্রাহকের তাপমাত্রা  `T_2=132K`   Ans.