প্রাস-Projectile

প্রাসঃ আনুভূমিকের সাথে তীর্যকভাবে নিক্ষিপ্ত কোন বস্তুকে প্রাস বলে। নিক্ষিপ্ত এ বস্তুর গতি দ্বিমাত্রিক।অর্থাৎ  একই সাথে X ও Z অক্ষ বরাবর গতি,সরণ ও তরণের মান পাওয়া যায়। উল্লেখ্য যে প্রাসের ক্ষেত্রে X অক্ষ বরাবর ত্বরণের মান 0 ।

প্রাস সম্পর্কে বিস্তারিত পড়ার আগে প্রাস সম্পর্কীত কিছু সংজ্ঞা জেনে নেওয়া উচিৎ।

১)নিক্ষেপন বিন্দুঃ যে বিন্দু থেকে বস্তুটিকে নিক্ষেপ করা হয় তাকে নিক্ষেপন বিন্দু  বলে।উপরের চিত্রে O নিক্ষেপন বিন্দু।

২)পাল্লাঃ নিক্ষেপন বিন্দু হতে অবতরণ বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব কে প্রাসের পাল্লা বলা হয়। উপরের চিত্রে OQ হচ্ছে পাল্লা।

৩)বিচরণকালঃ নিক্ষেপ করার পর বস্তুটি ভূমিতে ফিরে আসতে যে সময় লাগে তাকে বিচরণকাল বলে।

এখন আমরা প্রাস সম্পর্কিত কিছু সমীকরণ প্রতিষ্ঠা করবো।

প্রাসের গতিপথের সমীকরণঃ ধরি প্রাস টিকে `V_0` বেগে নিক্ষেপ করা হলো। অর্থাৎ, প্রাসের আদিবেগ `V_0` । তাহলে উপরের চিত্র অনুসারে,

বেগের অনুভূমিক উপাংশ, `V_{x_0}= V_0  cos \theta _0` ----------(1)

বেগের অনুভূমিক উপাংশ, `V_{y_0}= V_0  sin \theta _0` -----------(2)

ধরি, প্রাস টি নিক্ষেপের t সময় পর P(x,y) বিন্দুতে পৌছায়।এই অবস্থায়,

বেগের অনুভূমিক উপাংশ, 

`V_x= V_{x_0} + a_x t`

 `\Rightarrow V_x= V_{x_0}` -------------(3) [যেহেতু X অক্ষ বরাবর ত্বরণের উপাংশ `a_x=0` ]

(1) ও (3) হতে পাই,

`V_x = V_0  cos \theta _0` ----------------- (4)

আবার, বেগের উলম্ব উপাংশ,

`V_y = V_{y_0} + a_y t`

`\Rightarrow V_y= V_0 sin \theta _0 - g t` ------------ (5)

t সময় পর প্রাসের আনুভুমিক (X অক্ষ বরাবর) সরণ,

`x = V_{X_0} t`

`\Rightarrow x= (V_0 cos \theta_0) t`   [ (1) নং হতে পাই `V_{X_0}= V_0  cos \theta _0` ]

`Rightarrow t= \frac{x}{V_0 cos \theta_0}` -----------(6)

আবার, t সময় পর প্রাসের উল্লম্ব ( y অক্ষ বরাবর) সরণ,

`y = V_{Y_0} t - \frac{1}{2} g t^2`

`\Rightarrow y = (V_0  sin \theta _0) t - \frac{1}{2} g t^2` --------------(7)

`\Rightarrow y = (V_0  sin \theta _0) \frac{x}{V_0 cos \theta_0} - \frac{1}{2} g {\frac{x}{V_0 cos \theta_0}}^2`

`Rightarrow y = \frac{V_0  sin \theta _0}{V_0 cos \theta_0} x - (\frac{g}{2 V_0^2 cos^2 \theta_0}) x^2`

`Rightarrow y = (tan \theta_0)x - (\frac{g}{2 V_0^2 cos^2 \theta_0}) x^2`

`y= bx- c x^2` [ `tan \theta_0 = b` এবং `\frac{g}{2 V_0^2 cos^2 \theta_0}=c` ধরে ]

ইহাই প্রাসের গতিপথের সমীকরণ। এইসমীকরণ টি একটি প্যারাবোলা নির্দেশ করে। অতএব, প্রাসের গতিপথ একটি প্যারাবোলা বা পরাবৃত্ত।

প্রাসের লব্ধি বেগের মান নির্ণয়ঃ (4) ও (5) নং সমীকরণ হতে পাই,

`V_x = V_0  cos \theta _0` ----------------- (4)

`\Rightarrow V_y= V_0 sin \theta _0- g t` ------------ (5)

আমরা জানি, 

লব্ধিবেগ `V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}`

`\Rightarrow V = \sqrt{(V_0  cos \theta _0)^2 + (V_0 sin \theta _0- g t)^2}`

`Rightarrow V = \sqrt{V_0^2 cos^2 \theta_0 + V_0^2 sin^2 \theta_  -2 V_0 sin\theta_0 g t + g^2 t^2}`

`Rightarrow V = \sqrt{V_0^2( cos^2 \theta_0 +  sin^2 \theta_0) -2 V_0 g t sin\theta_0  + g^2 t^2}`

`Rightarrow V = \sqrt{V_0^2 . 1 -2 g ( V_0 t sin\theta_0  + \frac{1}{2} g t^2)`

`Rightarrow V = \sqrt{V_0^2  -2 gy}`        [ (7) নং হতে পাই `y = (V_0  sin \theta _0) t - \frac{1}{2} g t^2` ]

ইহাই প্রাসের লব্ধি বেগের সমীকরণ।

সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়ঃ প্রাস টি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠলে(উপরে উঠে থেমে গিয়ে যখন আবার নিচে নামা শুরু করবে) এর বেগের উল্লম্ব উপাংশ, `V_y =0` । এই মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

`V_y= V_0 sin \theta _0- g t`

`\Rightarrow 0 = V_0 sin \theta _0- g t`

`\Rightarrow V_0 sin \theta _0- g t = 0`

`t = \frac{V_0 sin \theta _0}{g}`

`t_m= \frac{V_0 sin \theta _0}{g}` ------------- (8)

এখানে `t_m` হচ্ছে সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়।

সর্বোচ্চ উচ্চতাঃ (8) নং হতে পাই সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়, `t_m= \frac{V_0 sin \theta _0}{g}` । এই মান (7) নং এ ব্যবহার করে পাই,

`y = (V_0  sin \theta _0) t_m - \frac{1}{2} g t_m^2`

`y = (V_0  sin \theta _0) \frac{V_0 sin \theta _0}{g}  - \frac{1}{2} g (\frac{V_0 sin \theta _0}{g})^2`

`y = V_0 ^2 \frac{sin^2 \theta _0}{g} - \frac{V_0 ^2 sin^2 \theta _0}{2g}`

`y = \frac{V_0 ^2 sin^2 \theta _0}{2g}` ------------ (9)

আমরা জানি, `sin \theta_0` এর

সর্বোচ্চ মান 1 ( `\theta _0 = 90^o` হলে)। এখন এই মান (9) নং এ বসালে সর্বোচ্চ উচ্চতা পাওয়া যাবে অর্থাৎ, `y= h_{max}` হবে। তাহলে (9) নং হতে পাই,

`h_{max} = \frac{V_0 ^2}{2g}`

বিচরনকালঃ বস্তুকে নিক্ষেপ করার পর আবার ভূমিতে আপতিত হতে যে সময় আল্গে তাকে প্রাসের বিচরনকাল বলে। যেহেতু বস্তুটি ভূমিতে ফিরে আসে তাই `y=0` হয়। এখন বিচরনকাল `t=T` ধরলে আমরা 97)  নং সমীকরণ হতে পাই,

`y = (V_o  sin \theta _o) t - \frac{1}{2} g T^2`

`\Rightarrow 0 = (V_o  sin \theta _o) T- \frac{1}{2} g T^2`

`\Rightarrow (V_o  sin \theta _o) T- \frac{1}{2} g T^2 =0`

`\Rightarrow T(V_o sin \theta_o -\frac{1}{2} g T)=0`

হয়, `T=0`   অথবা,`V_o sin \theta_o -\frac{1}{2} g T =0`

                               `\Rightarrow - \frac{1}{2} g T = - V_o sin \theta_o`

                               `T = \frac{2 V_o sin \theta_o}{g}` ----------- (10)

ইহাই প্রাসের বিচরনকাল। 

(10) সমীকরণের সাথে (8) নং তুলনা করে পাই,

 `T = \frac{2 V_o sin \theta_o}{g}`

`Rightarrow T = 2 \frac{V_o sin \theta_o}{g}`

`\Rightarrow T = 2 t_m` -----(11) [ (8) নং সমীকরণ হতে `t_m= \frac{V_0 sin \theta _0}{g}` ]

অর্থাৎ, বিচরনকাল T , সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়ের দ্বিগুন।

আনুভূমিক পাল্লাঃ  বিচরনকাল T সময়ে প্রাস টি ভূমি বরাবর যে দুরত্ব অতিক্রম করে তাই প্রাসের আনুভূমিক পাল্লা R ।

আমরা জানি, 

                        আনুভূমিক সরন = বেগ `\times` সময়

                        `\Rightarrow R = V_o cos \theta_o (\frac{2 V_o sin \theta_o}{g})`

                       `\Rightarrow R = \frac{V_o^2  \times 2 sin \theta_o cos \theta_o}{g}`

                       `\Rightarrow R = \frac{V_o^2  sin 2\theta_o}{g}` ----------- (12)

সর্বাধিক আনুভূমিক পাল্লাঃ   উপরের (12) নং সমীকরণ এ দেখা যাচ্ছে  আনুভূকিক পাল্লা `sin 2\theta_o` এর উপর নির্ভরশীল। আমরা জানি sin এর সর্বোচ্চ মান 1 । তাহলে আমরা লিখতে পারি,

 `sin 2\theta = 1`

`\Rightarrow sin 2\theta_o = sin 90^o`

`\Rightarrow  2 \theta_o = 90^o`

`\Rightarrow \theta_o = 45^o`

সুতরাং `45^o` কোণে নিক্ষেপ করলে প্রাস টি সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করবে।