সমোষ্ণ ও রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ- Work done in isothermal and adiabatic process.

আমরা জানি কোন গ্যাস কে তাপ দিলে এর আয়তন বৃদ্ধিপায় এবং বাহ্যিক কাজ সম্পাদিত হয়।সম্পাদিত এই কাজের পরিমান ভিন্ন ভিন্ন প্রক্রিয়ায় ভিন্ন ভিন্ন। এখন আমরা সমোষ্ণ ও রূদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় গ্যাস কর্তৃক সম্পাদিত কাজের মান নির্ণয় করবো।

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় গ্যাস কর্তৃক সম্পাদিত কাজঃ  যে প্রক্রিয়ায় গ্যাসের (সিস্টেম) চাপ ও আয়তনের পরিবর্তন ঘটে কিন্তু তাপমাত্রার পরিবর্তন ঘটেনা তাকে সমোষ্ণ প্রক্রিয়া বলে। ধরি কোন গ্যাসের আয়তন V₁ এবং চাপ P₁ যা A বিন্দু নির্দেশ করে। এখন  গ্যাসের আয়তন বৃদ্ধি করে V2 করা হলে এর চাপ কমে P2 হবে, যা B বিন্দু নির্দেশ করে।অতএব AB রেখা সমোষ্ণ প্রসারণ নির্দেশ করে।

এখন ধরা যাক, E থেকে F পর্যন্ত অতিক্ষুদ্র আয়তন প্রসারণ dV । dV  এর মান খুবই ক্ষুদ্র বলে এ অবস্থায় চাপ P স্থির ধরা যায়। তাহলে GE =HF=P। অতএব dV  প্রসারণের ফলে সম্পাদিত কাজ W হলে,

dW = PdV

`\Rightarrow dW = EG \times EF`

`\Rightarrow dW = EFGH` অংশের ক্ষেত্রফল। ------------ (1)

এখন মোট সম্পাদিত কাজের মান বের করতে ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এখন, ABCD হলো EFGH এর মতো ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষেত্রের সমষ্টি। তাই (1)  নং সমীকরণ কে V₁  থেকে V2 সীমার মধ্যে সমাকলন করলে মোট সম্পাদিত কাজের মান পাওয়া যাবে।

অতএব, মোট কাজ W হলে,

`W=\int_{V_1}^{V_2} dW`

`\Rightarrow W=\int_{V_1}^{V_2} PdV` --------------- (2)

কিন্তু আমরা জানি,

 PV=RT

`\Rightarrow P = \frac{RT}{V}`

P এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,

` W=\int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V}dV`

`\Rightarrow W= RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}dV`

`Rightarrow W = RT [log_e V]_(V_1) ^(V_2)`

`Rightarrow W=RT log_e \frac{V_2}{V_1}`

ইহাই সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজের সমীকরণ।

রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় গ্যাস কর্তৃক সম্পাদিত কাজঃ  যে প্রক্রিয়ায় গ্যাসের (সিস্টেম) চাপ, তাপমাত্রা ও আয়তনের পরিবর্তন ঘটে কিন্তু সিস্টেম পরিবেশের সাথে তাপ আদান-প্রদান করতে পারেনা তাকে রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়া বলে। ধরি কোন গ্যাসের আয়তন `V_1`, তাপমাত্রা `T_1` এবং চাপ `P_1` যা `A` বিন্দু নির্দেশ করে। এখন  গ্যাসের আয়তন বৃদ্ধি করে `V_2` করা হলে এর চাপ কমে `P_2` এবং তাপমাত্রা `T_2` হবে, যা B বিন্দু নির্দেশ করে।অতএব `AB` রেখা রূদ্ধতাপ প্রসারণ নির্দেশ করে।

এখন ধরা যাক, E থেকে F পর্যন্ত অতিক্ষুদ্র আয়তন প্রসারণ dV । dV  এর মান খুবই ক্ষুদ্র বলে এ অবস্থায় চাপ P স্থির ধরা যায়। তাহলে GE =HF=P। অতএব dV  প্রসারণের ফলে সম্পাদিত কাজ W হলে,

dW = PdV

`\Rightarrow dW = EG \times EF`

`\Rightarrow dW = EFGH` অংশের ক্ষেত্রফল। ------------ (1)

এখন মোট সম্পাদিত কাজের মান বের করতে ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এখন, ABCD হলো EFGH এর মতো ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষেত্রের সমষ্টি। তাই (1)  নং সমীকরণ কে `V_1` থেকে `V_2` সীমার মধ্যে সমাকলন করলে মোট সম্পাদিত কাজের মান পাওয়া যাবে।

অতএব, মোট কাজ W হলে,

`W=\int_{V_1}^{V_2} dW`

`\Rightarrow W=\int_{V_1}^{V_2} PdV` --------------- (2)

কিন্তু, রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায়

 `PV^{\gamma} = K` -------------(3)

বা, `P = \frac{1}{V^{\gamma}} K`

`P` এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,

`W= \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V^{\gamma}} K dV`

`\Rightarrow W= K \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V^{\gamma}} dV`

`\Rightarrow W= K \int_{V_1}^{V_2}{V^{-\gamma}} dV`

`\Rightarrow W = K [\frac{V^{-\gamma +1}}{-\gamma +1}]_{V_1}^{V_2}`

`\Rightarrow W = \frac{K}{1-\gamma} [\frac{1}{V^{1-\gamma}}]_{V_1}^{V_2}`

`\Rightarrow W = \frac{K}{1-\gamma} [\frac{1}{V_2^{1-\gamma}}- \frac{1}{V_1^{1-\gamma}}]`

`\Rightarrow W = \frac{PV^{\gamma} }{1-\gamma} [\frac{1}{V_2^{1-\gamma}}- \frac{1}{V_1^{1-\gamma}}]`   [ (3) নং হতে]

`\Rightarrow W = \frac{1}{1-\gamma} [\frac{PV_2^{\gamma} }{V_2^{1-\gamma}}- \frac{PV_1^{\gamma} }{V_1^{1-\gamma}}]` 

`\Rightarrow W = \frac{1}{1-\gamma} [P_2 V_2 - P_1 V_1]`

`\Rightarrow W = \frac{1}{1-\gamma][RT_2 -RT_1]`     [`PV= RT`]

`\Rightarrow W = \frac{R}{1-\gamma}[T_2 -T_1]`

ইহাই রূদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় সম্পাদিত কাজ।