গতিবিদ্যায় গাণিতিক সমস্যা-Mathematical problems in dynamics

১. একটি ক্রিকেট বলকে আঘাত করায় বলটি

$30 ms^{-1}$ বেগ প্রাপ্ত হয় এবং সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করে। একই সময় একজন ফিল্ডার ক্যাচ ধরার জন্য

$10 ms^{-1}$ বেগে দৌড় দেয় এবং 40 m অতিক্রম করে।

ক. 4s পর বলটির বেগ নির্ণয় কর।

খ. ফিল্ডার টি ক্যাচ ধরতে পারবে কি?

সমাধান(ক)

এখানে,

আদিবেগ

$V_o = 30 ms^{-1}$

সময়

$t = 4s$

নিক্ষেপ কোণ

$\theta = 45^o$

অভিকর্ষজ ত্বরন

$g = 9.8 ms^{-2}$

লব্ধি বেগ

$V = ?$

আমরা জানি,

লব্ধি বেগ

$V = \sqrt{V_x ^2 +V_y ^2}$

$= \sqrt{(V_o cos \theta_o)^2+(V_o sin \theta_o -g t)^2}$

$= \sqrt{(30 \times cos 45^o)^2 + (30 \times sin45^o - 9.8 \times 2)^2}$

$= \sqrt{(30 \times \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 9.8 \times 4)^2}$

$= \sqrt{(15\sqrt{2})^2 +(-17.987)^2}$

$=27.813 ms^{-1}$ Ans.

[নিক্ষেপ কোণ

$45^o$ হলেই কেবল মাত্র নিক্ষিপ্ত বস্তু সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে। যেহেতু উদ্দিপকে ব লা আছে যে বস্তুটি সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করেছে অতএব নিক্ষেপ কোণ অবশ্যই

$45^o$ ]

Mathematical problems in dynamics

সমাধান(খ) উদ্দীপ্পক অনুসারে, বলটি যত টুকু সময় শুন্যে ভাসমান থাকে ততটুকু সময়ের মধ্যে যদি ফিল্ডার টি 30 m দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে তাহলে বলটি ধরতে পারবে। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে আমরা বলের বিচরনকাল T এবং ফিল্ডারের জন্য সময় t এর মান নির্ণয় করবো।

এখানে,

আদিবেগ

$v_o = 30 ms^{-1}$

নিক্ষেপ কোণ

$\theta = 45^o$

অভিকর্ষজ ত্বরন

$g = 9.8 ms^{-2}$

বিচরণকাল

$T = ?$

আমরা জানি,

$T =\frac{2 V_o sin \theta}{g}$

$=\frac{2 \ times 30 \times sin \45^o }{9.8}$

$=4.33 s$

আবার, ফিল্ডারের ক্ষেত্রে,

সরন

$s= 40 m$

বেগ

$v = 10 ms^{-1}$

সময়

$t= ?$

আমরা জানি,

$s = vt$

$\Rightarrow t= \frac{s}{v}$

$\Rightarrow t= \frac{40}{10}$

$t= 4 s$

যেহেতু

$T \gt t$ অর্থাৎ, ফিল্ডারের দৌড়ে আসার সময় বলের বিচরনকাল অপেক্ষা কম তাই ফিল্ডার ক্যাচ ধরতে পারবে।

২. নিচের চিত্রানুসারে একটি বস্তুকে

$V_o = 30 ms^{-1}$ বেগে এবং

$\theta_o = 40^o$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটির সর্বোচ্চ উচ্চতা

$HP$ ।

গতিবিদ্যায় গাণিতিক সমস্যা-Mathematical problems in dynamics

ক. নিক্ষিপ্ত বস্তুটি কত বেগে ভুমি স্পর্শ করবে? / ভূমি স্পর্শ করার মুহুর্তে বস্তুটির বেগ কত হবে ? / বস্তুটির চূড়ান্ত বেগ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ করো যে,

$OP \gt PH$ ।

গ. নিক্ষেপণ কোণ কত হলে বস্তুটি

$3.062 sec$ পর ভূমি স্পর্শ করবে?

সমাধান(ক):

এখানে,

আদিবেগ

$v_o = 30 ms^{-1}$

নিক্ষেপণ কোণ,

$\theta_o = 40^o$

অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$g = 9.8 ms^{-2}$

বিচরণকাল,

$T = ?$

চূড়ান্ত বেগ,

$v = ?$

আমরা জানি,

বিচরণকাল,

$T = \frac{2 v_o sin\theta_o}{g}$

$\Rightarrow T = \frac{2\times 30\times sin 40^o}{9.8}$

$\Rightarrow T = 3.9354 sec$

এখন,

চূড়ান্ত বেগ,

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$\Rightarrow v = \sqrt{(v_o cos\theta_o)^2 + (v_o sin\theta_o - gT)^2}$

$\Rightarrow v = \sqrt{(30 \times cos 40^o)^2 + (30 \times sin 40^o - 9.8 \times 3.9354)^2}$

$\Rightarrow v = 30 ms^{-1}$ Ans.

সমাধান(খ):

এখানে,

আদিবেগ

$v_o = 30 ms^{-1}$

নিক্ষেপণ কোণ,

$\theta_o = 40^o$

অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$g = 9.8 ms^{-2}$

সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়

$= t$

সর্বোচ্চ উচ্চতা

$PH = ?$

সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে

$x$ অক্ষ বরাবর সরণ

$OP = ?$

আমরা জানি,

সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়,

$t = \frac{v_o sin\theta_o}{g}$

$\Rightarrow t = \frac{30 \times sin 40^o}{9.8}$

$\Rightarrow t = 1.9677 sec$

এখন,

$t$ সময়ে

$x$ অক্ষ বরাবর সরণ,

$OP = v_x \times t$

$\Rightarrow OP = v_o cos \theta_o\times t$

$\Rightarrow OP = 30 \times cos 40^o \times 1.9677$

$\Rightarrow OP = 18.9724$

এবং,

সর্বোচ্চ উচ্চতা,

$PH = \frac{v_o^2 sin^2 \theta_o}{2g}$

$\Rightarrow PH = \frac{30^2 \times sin^2 40^o}{2\times 9.8}$

$\Rightarrow PH = 18.9724$

সুতরাং,

$OP \gt PH$

সমাধান(গ):

এখানে,

আদিবেগ

$v_o = 30 ms^{-1}$

বিচরণকাল,

$T = 3.062 sec$

অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$g= 9.8 ms^{-2}$

নিক্ষেপণ কোণ,

$\theta_o = ?$

আমরা জানি,

$T = \frac{2 v_o sin\theta_o}{g}$

$\Rightarrow 2v_o sin\theta_o = Tg$

$\Rightarrow sin\theta_o = \frac{Tg}{2v_o}$

$\Rightarrow \theta_o = sin^{-1}\frac{Tg}{2v_o}$

$\Rightarrow \theta_o = sin^{-1}( \frac{3.062 \times 9.8}{2\times 30})$

$\Rightarrow \theta_o = 30^o$ Ans.

Ad beside title

গতিবিদ্যায় গাণিতিক সমস্যা-Mathematical problems in dynamics