গতিবিদ্যায় গাণিতিক সমস্যা-Mathematical problems in dynamics
গতিবিদ্যায় গাণিতিক সমস্যা-Mathematical problems in dynamics
ক. 4s পর বলটির বেগ নির্ণয় কর।
খ. ফিল্ডার টি ক্যাচ ধরতে পারবে কি?
সমাধান(ক)
এখানে,
আদিবেগ `V_o = 30 ms^{-1}`
সময় `t = 4s`
নিক্ষেপ কোণ `\theta = 45^o `
অভিকর্ষজ ত্বরন `g = 9.8 ms^{-2}`
লব্ধি বেগ `V = ? `
আমরা জানি,
লব্ধি বেগ `V = \sqrt{V_x ^2 +V_y ^2}`
`= \sqrt{(V_o cos \theta_o)^2+(V_o sin \theta_o -g t)^2}`
`= \sqrt{(30 \times cos 45^o)^2 + (30 \times sin45^o - 9.8 \times 2)^2}`
`= \sqrt{(30 \times \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 9.8 \times 4)^2}`
`= \sqrt{(15\sqrt{2})^2 +(-17.987)^2}`
`=27.813 ms^{-1}` Ans.
[নিক্ষেপ কোণ `45^o` হলেই কেবল মাত্র নিক্ষিপ্ত বস্তু সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে। যেহেতু উদ্দিপকে ব লা আছে যে বস্তুটি সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করেছে অতএব নিক্ষেপ কোণ অবশ্যই `45^o`]
 |
| Mathematical problems in dynamics |
সমাধান(খ) উদ্দীপ্পক অনুসারে, বলটি যত টুকু সময় শুন্যে ভাসমান থাকে ততটুকু সময়ের মধ্যে যদি ফিল্ডার টি 30 m দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে তাহলে বলটি ধরতে পারবে। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে আমরা বলের বিচরনকাল T এবং ফিল্ডারের জন্য সময় t এর মান নির্ণয় করবো।
এখানে,
আদিবেগ `v_o = 30 ms^{-1}`
নিক্ষেপ কোণ `\theta = 45^o `
অভিকর্ষজ ত্বরন `g = 9.8 ms^{-2}`
বিচরণকাল `T = ?`
আমরা জানি,
`T =\frac{2 V_o sin \theta}{g}`
`=\frac{2 \ times 30 \times sin \45^o }{9.8}`
`=4.33 s`
আবার, ফিল্ডারের ক্ষেত্রে,
সরন `s= 40 m`
বেগ `v = 10 ms^{-1}`
সময় `t= ?`
আমরা জানি,
`s = vt`
`\Rightarrow t= \frac{s}{v}`
`\Rightarrow t= \frac{40}{10}`
`t= 4 s`
যেহেতু `T \gt t` অর্থাৎ, ফিল্ডারের দৌড়ে আসার সময় বলের বিচরনকাল অপেক্ষা কম তাই ফিল্ডার ক্যাচ ধরতে পারবে।
২. নিচের চিত্রানুসারে একটি বস্তুকে `V_o = 30 ms^{-1}` বেগে এবং `\theta_o = 40^o ` কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটির সর্বোচ্চ উচ্চতা `HP` ।
ক. নিক্ষিপ্ত বস্তুটি কত বেগে ভুমি স্পর্শ করবে? / ভূমি স্পর্শ করার মুহুর্তে বস্তুটির বেগ কত হবে ? / বস্তুটির চূড়ান্ত বেগ নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ করো যে, `OP \gt PH` ।
গ. নিক্ষেপণ কোণ কত হলে বস্তুটি `3.062 sec` পর ভূমি স্পর্শ করবে?
সমাধান(ক):
এখানে,
আদিবেগ `v_o = 30 ms^{-1}`
নিক্ষেপণ কোণ, `\theta_o = 40^o`
অভিকর্ষজ ত্বরণ, `g = 9.8 ms^{-2}`
বিচরণকাল,`T = ?`
চূড়ান্ত বেগ, `v = ?`
আমরা জানি,
বিচরণকাল, `T = \frac{2 v_o sin\theta_o}{g}`
`\Rightarrow T = \frac{2\times 30\times sin 40^o}{9.8}`
`\Rightarrow T = 3.9354 sec`
এখন,
চূড়ান্ত বেগ,`v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}`
`\Rightarrow v = \sqrt{(v_o cos\theta_o)^2 + (v_o sin\theta_o - gT)^2}`
`\Rightarrow v = \sqrt{(30 \times cos 40^o)^2 + (30 \times sin 40^o - 9.8 \times 3.9354)^2}`
`\Rightarrow v = 30 ms^{-1}` Ans.
সমাধান(খ):
এখানে,
আদিবেগ `v_o = 30 ms^{-1}`
নিক্ষেপণ কোণ, `\theta_o = 40^o`
অভিকর্ষজ ত্বরণ, `g = 9.8 ms^{-2}`
সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময় `= t`
সর্বোচ্চ উচ্চতা `PH = ?`
সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে `x` অক্ষ বরাবর সরণ `OP = ?`
আমরা জানি,
সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়, `t = \frac{v_o sin\theta_o}{g}`
`\Rightarrow t = \frac{30 \times sin 40^o}{9.8}`
`\Rightarrow t = 1.9677 sec`
এখন, `t` সময়ে `x` অক্ষ বরাবর সরণ, `OP = v_x \times t`
`\Rightarrow OP = v_o cos \theta_o\times t`
`\Rightarrow OP = 30 \times cos 40^o \times 1.9677`
`\Rightarrow OP = 18.9724`
এবং,
সর্বোচ্চ উচ্চতা, `PH = \frac{v_o^2 sin^2 \theta_o}{2g}`
`\Rightarrow PH = \frac{30^2 \times sin^2 40^o}{2\times 9.8}`
`\Rightarrow PH = 18.9724`
সুতরাং, `OP \gt PH`
সমাধান(গ):
এখানে,
আদিবেগ `v_o = 30 ms^{-1}`
বিচরণকাল,`T = 3.062 sec`
অভিকর্ষজ ত্বরণ, `g= 9.8 ms^{-2}`
নিক্ষেপণ কোণ, `\theta_o = ?`
আমরা জানি,
`T = \frac{2 v_o sin\theta_o}{g}`
`\Rightarrow 2v_o sin\theta_o = Tg `
`\Rightarrow sin\theta_o = \frac{Tg}{2v_o}`
`\Rightarrow \theta_o = sin^{-1}\frac{Tg}{2v_o}`
`\Rightarrow \theta_o = sin^{-1}( \frac{3.062 \times 9.8}{2\times 30})`
`\Rightarrow \theta_o = 30^o ` Ans.
Post a Comment