ভেক্টর যোগের সূত্র সমূহ- Addition law of vector

 

ভেক্টর যোগের সূত্র সমূহ

ভেক্টরঃ যে সকল রাশির দিক ও মান দুটি ই রয়েছে তাদের কে ভেক্টর রাশি বলা হয়।

যেহেতু ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করতে দিকের প্রয়োজন হয় তাই সাধারন বীজগনিতের নিয়ম অনুযায়ী ভেক্টর রাশি কে যোগ,বিয়োগ বা গুন করা যায়না। ভেক্টর রাশি যোগের ক্ষেত্রে যে সকল সূত্র ব্যবহার করা হয় তাদের মধ্যে ত্রিভূজ সূত্র এবং সামান্তরিক সূত্র অন্যতম।

ভেক্টরের ত্রিভূজ সূত্রঃ কোন ত্রিভূজের দুটি বাহু দ্বারা যদি সমজাতীয় দুটি ভেক্টর একই দিকে সূচিত হয় তবে ঐ ত্রিভূজের তৃতীয় বাহু দ্বারা বিপরীত দিকে উক্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমষ্টি সূচিত হবে।

                                                         

 

মনে করি, ত্রিভূজ ABC এর AB ও BC  বাহু দ্বারা দুটি ভেক্টর একই দিকে সূচিত হয়। তাহলে ভেক্টরের ত্রিভূজ সূত্র অনুসারে AC বাহু দ্বারা বিপরীত দিকে তাদের যোগফল সূচিত হবে। গাণিতিক ভাবে,

`\overline{AB} + \overline{BC}= \overline{AC}`

 

ত্রিভূজের সামান্তরিক সূত্রঃ যদি কোন সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা দুটি ভেক্টর দিকে ও মানে সূচিত হয় তবে ঐ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ দ্বারা উক্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমষ্টি দিকে ও মানে সূচিত হবে।

মনে করি, সামান্তরিক ABCD এর AB ও AC বাহু দুটি যথাক্রমে `\overline{P}`ও `\overline{Q}`ভেক্টর দুটি কে প্রকাশ করে। তাহলে AB ও AC বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ AD দ্বারা ভেক্টর দুটির যোগফল `\overline{R}`প্রকাশিত হবে। অর্থাৎ,

`\overline{AB}+\overline{AC}=\overline{AD}`

 `\Rightarrow\overline{P}+\overline{Q}=\overline{R}`

লব্ধির মান (R) নির্ণয়ঃ মনে করি,`\overline{P}`ও `\overline{Q}` ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ `\alpha` এবং লব্ধি `\overline{R}` ও `\overline{P}` এর মধ্যবর্তী কোণ `\theta` ।এখন `D` বিন্দু হতে `AB` এর বর্ধিতাংশের উপর `DE` লম্ব টানি। এখন ত্রিভূজ `ADE` হতে পীথাগোরাসের সূত্রের সাহায্যে পাই,

                                       `AD^2 = AE^2 + DE^2`

                              `\Rightarrow AD^2 = (AB + BE )^2 + DE^2` ----------(1)

 

চিত্রানুসারে `AD= \overline{R}` এবং `AB = \overline{P}` । সুতরাং আমাদের `BE` ও `DE` এর মান নির্ণয় করতে হবে।

ত্রিভূজ `BDE` থেকে পাই,

                                            `cos \alpha = \frac{BE}{BD}`

                                      `\Rightarrow cos \alpha = \frac{BE}{Q}`

                                      `\Rightarrow BE = Q cos \alpha` -------------(2)

আবার,

              `sin\alpha = \frac{DE}{BD}`

            `\Rightarrow sin\alpha = \frac{DE}{Q}`

            `\Rightarrow DE = Q sin\alpha` -------------- (3)

 

এখন (1) নং এ `AB` , `AD`, `BE` ও `DE` এর মান বসিয়ে পাই,

 `AD^2 = (P + Q cos\alpha)^2 +(Q sin\alpha)^2`

`\Rightarrow R^2 = P^2 +2PQ cos \alpha + Q^2 cos^2 \alpha + Q^2 sin^2 \alpha`

`\Rightarrow R^2 = P^2 + 2PQ cos \alpha + Q^2 ( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)`

`\Rightarrow R^2 = P^2 + 2PQ cos\alpha + Q^2      [ sin^2\alpha +cos^2\alpha = 1]`

`\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + 2PQ cos\alpha + Q^2}` ----------(4)

এটাই লব্ধি R এর মান।

 

লব্ধির দিক নির্ণয়ঃ লব্ধির দিক বলতে, লব্ধি ভেক্টর `\overline{R}`ও ভেক্টর `\overline{P}` এর মধ্যবর্তী কোণ `\theta কে বুঝায়। এখন, ত্রিভূজ `ADE` হতে পাই,

 `tan\theta = \frac{DE}{AE}`

`\Rightarrow tan\theta = frac{Q sin \alpha}{AB + BE}`  [(3) নং সমীকরণ থেকে]

`\Rightarrow tan\theta = \frac{P}{Q cos \alpha}`

`\Rightarrow \theta = tan^(-1) (\frac{Q sin \alpha}{ P + Q cos \alpha})`

এটাই লব্ধির দিক `\theta এর মান।

লব্ধির সর্বোচ্চ মানঃ `\overline{P}`ও `\overline{Q}`ভেক্টর দুটি যদি একই দিকে অর্থাৎ, একই সরলরেখা বরাবর ক্রিয়া করে তখন তাদের মধ্যবর্তী কোণ `\alpha = 0^o` হবে  । তাহলে (4) সমীকরণ থেকে পাই,

`R = \sqrt{P^2 + 2PQ cos 0^o + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + 2PQ \times 1 + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + 2PQ + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{(P + Q)^2}`

`\Rightarrow R_{max} = P + Q ` 

এখানে `R_{max}` দ্বারা লব্ধির সর্বোচ্চমান বুঝানো হয়েছে।
অর্থাৎ, ভেক্টর দুটি একই দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান সর্বোচ্চ হবে এবং এই মান হবে ভেক্টর দুটির মানের যোগফলের সমান।

 

লব্ধির সর্বনিম্ন মানঃ ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ α=180°।তাহলে (4) থেকে পাই,

`R = \sqrt{P^2 + 2PQ cos 180^o + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + 2PQ \times (-1) + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{P^2 - 2PQ + Q^2}`

`\Rightarrow R = \sqrt{(P ~ Q)^2}`

`\Rightarrow R_{max} = P ~ Q ` 

সুতরাং ভেক্টর দুটি বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের মান সর্বনিম্ন হবে এবং এই মান হবে ভেক্টর দুটির মানের বিয়োগফলের সমান।

`** Note:`

 `(P - Q)^2 = P^2 - 2PQ - Q^2`

`\Rightarrow (P - Q)^2 = Q^2 - 2QP + P^2`

`\Rightarrow (P - Q)^2 = (Q - P)^2 = (P~Q)^2`