হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ ও এর ইলেক্ট্রনের শক্তির সমীকরণ

 

হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ ও এর ইলেক্ট্রনের শক্তির সমীকরণ

হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণঃ

মনে করি, হাইড্রোজেন পরামণুর ব্যাসার্ধ r এবং এর নিউক্লিয়াসে z সংখ্যক প্রোটন আছে। যেহেতু ইলেক্ট্রন এবং প্রোটনের চার্জ সমান, তাহলে ধরা যায়,

Z সংখ্যক প্রোটনের চার্জ = Ze ( অর্থাৎ Z পারমাণবিক সংখ্যা)

এবং, ইলেক্ট্রনের চার্জ = e

এই ধনাত্মক নিউক্লিয়াস এবং ঋনাত্মক ইলেক্ট্রনের মধ্যে স্থির তড়িৎ আকর্ষণ বল ক্রিয়া করে। মনে করি এই আকর্ষণ বলের মান F₁, তাহলে আমরা লিখতে পারি,

`F_1 = \frac{Ze \times e}{r^{2}}`

`\Rightarrow F_1 = \frac{Ze^2}{r^{2}}` ----------------- (1)

আবার, ইলেক্ট্রন টি পরমাণুর কক্ষপথে একটি নির্দিষ্ট বেগে আবর্তনশীল। এই আবর্তনের কারনের একটি কেন্দ্র বিমুখী বলের উৎপত্তি হয়। ইলেক্ট্রনের এই আবর্তন বেগের মান v  এবং ইলেক্ট্রনের ভর m হলে আমরা লিখতে পারি,

`F_2 = \frac {mv^2}{r}` ---------------(2)`

বোর পরমাণু মডেল হতে আমরা জানি, ইলেক্ট্রন ও নিউক্লিয়াসের মধ্যে ক্রিয়াশীল স্থির তড়িৎ আকর্ষণ বল এবং ইলেক্ট্রনের আবর্তন জনিত কেন্দ্র বহির্মুখী বল পরস্পর সাম্যাবস্থায় থাকে। অর্থাৎ,

`F_1 = F_2`

`\Rightarrow \frac {Ze^2}{r^2} = \frac {mv^2}{r}`

`\Rightarrow mv^2 = \frac {Ze^2}{r}` --------------- (3)

আমরা জানি, n তম কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের কৌণিক ভরবেগ,

`mvr = \frac {nh}{2 pi}` ( এখানে h প্লাঙ্কের ধ্রুবক)

`v = \frac {nh}{2 pi mr}`

v এর মান (3) এ বসিয়ে পাই,

`m ( \frac {nh}{2 pi mr})^2 = \frac{Ze^2}{r}`

`Rightarrow m \frac {n^2 h^2}{4 pi^2 m^2 r^2} = \frac {Ze^2}{r}`

`Rightarrow r = \frac {n^2 h^2}{4 pi^2 m Z e^2}`

ইহাই যেকোন পরমাণুর ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণ।

যেহেতু, হাইড্রোজের পারমাণবিক সংখ্যা 1, সুতরাং Z= 1 বসিয়ে পাই,

`r = \frac {n^2 h^2}{4 pi^2 m e^2}`

যা, হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণ।

 

Atom
Image source-Google | Image by- www.thoughtco.com

হাইড্রোজেন পরমাণুর শক্তিস্তরে ইলেক্ত্রনের শক্তি নির্ণয়ের সমীকরনঃ

হাইড্রোজেন পরমাণুর কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেক্ট্রনে দুই ধরনের শক্তি থাকে, বিভব শক্তি ও গতি শক্তি। এই দুটি শক্তি যোগ করলেই আমরা আবর্তনশীল ইলেক্ট্রনের মোট শক্তি পাবো।

m ভর বিশিষ্ট ইলেক্ট্রন v  বেগে আবর্তনশীল থাকলে এর গতি শক্তি,

`E_k = \frac {1}{2} mv^2` --------------(1) (3 নং সমীকরণ হতে )

আবার, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ r হলে বিভব শক্তি,

`E_p = - \frac {Ze^2}{r}`  -------------- (2)

সুতরাং মোট শক্তি,

`E = E_k + E_p`

`\Rightarrow E = \frac {1}{2} Ze^2 + (- \frac {Ze^2}{r})`

` Rightarrow E = - \frac {Ze^2}{2r}` ---------------- (3)

আবার, হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধের সমীকরণ হতে পাই,

`r = \frac {n^2 h^2}{4 pi^2 m Z e^2}`

r এর মান (3)  নং এ বসিয়ে পাই,

`E = - \frac {Ze^2}{2} \times \frac{1}{\frac{n^2 h^2}{4 pi^2 mZ e^2}}`

`Rightarrow E = \frac {-2 pi^2 Z m e^4}{n^2 h^2}`

যেহেতু H পরমাণুর জন্য Z = 1 সুতরাং আমরা লিখতে পারি,

`E = \frac {-2 pi^2 m e^4}{n^2 h^2}`

এটাই হাইড্রোজেন পরমাণুর কক্ষপথে ইলেক্ট্রনের শক্ত নির্ণয়ের সমীকরণ।

এই সমীকরণ ব্যবহার করে তৃতীয় কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের শক্তি নির্ণয় করা যাক।

এক্ষেত্রে,

ইলেক্ট্রনের ভর `m = 9.1 \times 10^(-28) g`

ইলেক্ট্রনের চার্জ `e = 4.8 \times 10^(-10) esu`

প্লাঙ্কের ধ্রুবক `h = 6.626 \times 10^(-27) erg.sec`

৩য় কক্ষপথের জন্য `n = 3`

` pi = 3.1416`

এখন, ৩য় কক্ষপথে অবস্থিত ইলেক্ট্রনের শক্তি = `\frac {2 \times (3.1416)^2 \times 9.1 \times 10^(-28) \times (4.8 \times 10^(-10))^4}{3^2 \times (6.626 \times 10^(-27))^2}`

`=2.41 \times 10^{-12} erg.sec`